Problème 1

Un ensemble fini $\mathcal{S}$ de réels strictement positifs distincts est dit radieux s'il vérifie la propriété suivante : si $a$ et $b$ sont deux éléments distincts de $\mathcal{S}$, alors $a^2+b^2$ est également un élément de $\mathcal{S}$.

1. Existe-t-il un ensemble radieux de taille supérieure ou égale à $4$ ?
2. Déterminer tous les ensembles radieux de taille $2$ ou $3$.

(Auteur : Martin Rakovsky, France)

Problème 2

Soit $n\geqslant 2$ un entier. On considère une grille carrée de taille $2n \times 2n$ et découpée en $4n^2$ carrés unités. La grille est dite équilibrée si :

• Chaque case contient un nombre valant $-1,0$ ou $1$.
• La valeur absolue de la somme des nombres de la grille ne dépasse pas $4n$.

Déterminer, en fonction de $n$, le plus petit entier $k \geqslant 1$ tel que toute grille équilibrée contient toujours un carré de taille $n\times n$ dont la valeur absolue de la somme des $n^2$ cases est inférieure ou égale à $k$.

(Auteur : Zakaria El Bourakadi, Maroc)

Problème 3

Soit $ABC$ un triangle, $\Omega$ son cercle circonscrit et $O$ le centre de $\Omega$. Soit $P$ un point appartenant au segment $[BC]$. On note $Q$ le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles $AOB$ et $APC$.

Montrer que la droite $(PQ)$ et la tangente à $\Omega$ au point $A$ se coupent sur le cercle circonscrit au triangle $AOB$.

(Auteur : Inspiré d'un problème de Yasser Merabet, Algérie)

Problème 4

Charlotte écrit au tableau les entiers $1, \ldots , 2025$. Charlotte dispose de deux opérations, l'opération PGCD et l'opération PPCM. L'opération PGCD consiste à choisir deux entiers $a$ et $b$ écrits au tableau, à les effacer et à écrire l'entier $\text{PGCD}(a,b)$. L'opération PPCM consiste à choisir deux entiers $a$ et $b$ écrits au tableau, à les effacer et à écrire l'entier $\text{PPCM}(a,b)$. Un entier $N$ est dit gagnant s'il existe une suite d'opérations à l'issue desquelles le seul entier encore écrit au tableau est l'entier $N$.

Déterminer tous les entiers gagnants parmi $\{1, \ldots , 2025\}$ et donner, pour chacun d'eux, le nombre minimum d'opérations PGCD que Charlotte doit utiliser.

(Auteur : Martin Rakovsky, France)

Problème 1

Soit $a_1, a_2, \ldots $ une suite d'entiers strictement positifs vérifiant la propriété suivante : pour tous entiers strictement positifs~$k<\ell$, pour tous entiers $m_1, \ldots , m_k$ distincts et pour tous entiers $n_1, \ldots , n_\ell$ distincts, \[a_{m_1} + \ldots + a_{m_k} \leqslant a_{n_1} + \ldots + a_{n_\ell}.\] Montrer qu'il existe deux entiers $N$ et $b$ tels que, pour tout $n\geqslant N$, $a_n = b$.

(Auteur : Meriam El Kaf, Maroc)

Problème 2

Soit $n\geqslant 2$ un entier. On considère une grille carrée de taille $2n \times 2n$ et découpée en $4n^2$ carrés unités. La grille est dite équilibrée si :

• Chaque case contient un nombre valant $-1,0$ ou $1$.
• La valeur absolue de la somme des nombres de la grille ne dépasse pas $4n$.

Déterminer, en fonction de $n$, le plus petit entier $k \geqslant 1$ tel que toute grille équilibrée contient toujours un carré de taille $n\times n$ dont la valeur absolue de la somme des $n^2$ cases est inférieure ou égale à $k$.

(Auteur : Zakaria El Bourakadi, Maroc)

Problème 3

Soit $\omega$ un cercle de centre $O$. Soient $B$ et $C$ deux points fixes du cercle $\omega$ et soit $A$ un point variable sur le cercle $\omega$. On note $X$ le point d'intersection des droites $(OB)$ et $(AC)$ et on suppose que $X\neq O$. On note $\Omega$ le cercle circonscrit au triangle $AOX$. Soit $Y$ le second point d'intersection de $\Omega$ avec $\omega$. La tangente à $\Omega$ en $Y$ recoupe $\omega$ en $I$. La droite $(OI)$ recoupe $\omega$ en $J$. La médiatrice du segment $[OY]$ recoupe la droite $(YI)$ en $T$ et la droite $(AJ)$ recoupe $\Omega$ en $P$. On note $Z$ le second point d'intersection du cercle circonscrit au triangle $PYT$ avec $\omega$.

Montrer que, lorsque le point $A$ varie, les points $Y$ et $Z$ restent fixes.

(Auteur : Yasser Merabet, Algérie)

Problème 4

Déterminer toutes les suites d'entiers strictement positifs $a_1, a_2, \ldots $ vérifiant les deux conditions suivantes :

• il existe un entier $M >0$ tel que, pour tout indice $n\geqslant 1$, $0< a_n \leqslant M$;
• pour tout nombre premier $p$ et pour tout indice $n\geqslant 1$, le nombre \[a_n a_{n+1} \ldots a_{n+p-1} -a_{n+p}\] est un multiple de $p$.

(Auteur : Mathys Douma, Suisse)